9503. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF
с вершиной S
. Стороны основания пирамиды равны a
, а боковые рёбра равны 2a
. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через вершину S
и середины рёбер AB
и AF
.
Ответ. \frac{3a^{2}\sqrt{19}}{16}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и AF
соответственно, O
— центр основания пирамиды, K
и L
— точки пересечения отрезков OA
с отрезками соответственно MN
и BF
. Сечение, о котором говорится в условии задачи, — равнобедренный треугольник MSN
с основанием MN
и высотой SK
.
Отрезок MN
— средняя линия треугольника ABF
, поэтому
MN=\frac{1}{2}BF=\frac{a\sqrt{3}}{2},~AK=\frac{1}{2}AL=\frac{1}{4}OA=\frac{a}{4},
OK=OA-AK=a-\frac{1}{4}a=\frac{3}{4}a.
Из прямоугольных треугольников AOS
и KOS
находим, что
SO=\sqrt{SA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{4a^{2}-a^{2}}=a\sqrt{3},
SK=\sqrt{SO^{2}+OK^{2}}=\sqrt{3a^{2}+\frac{9}{16}a^{2}}=\frac{a\sqrt{57}}{4}.
Следовательно,
S_{\triangle MSN}=\frac{1}{2}MN\cdot SK=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{57}}{4}=\frac{3a^{2}\sqrt{19}}{16}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6(в), с. 62