9505. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
. Все рёбра призмы равны a
. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через центр основания ABCDEF
параллельно прямым DE
и AE_{1}
.
Ответ. \frac{3a^{2}}{2}
.
Решение. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
, K
— точка пересечения диагоналей AE
и CF
основания. Точка O
лежит на прямой CF
, параллельной ED
, значит, секущая плоскость проходит через прямую CF
. Плоскость AEE_{1}
проходит через прямую AE_{1}
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку K
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку K
параллельно AE_{1}
.
Пусть прямая l
пересекает ребро EE_{1}
в точке M
. Эта точка — середина EE_{1}
, так как K
— середина AE
.
Секущая плоскость и плоскость DD_{1}E_{1}E
проходят через параллельные прямые CF
и DE
, значит, они пересекаются по прямой m
, проходящей через точку M
параллельно DE
. Пусть N
— точка пересечения прямой m
с ребром DD_{1}
. Тогда сечение, о котором говорится в условии задачи, — трапеция CFMN
.
По теореме о трёх перпендикулярах MK\perp CF
, значит, MK
— высота трапеции CFMN
. Из прямоугольного треугольника KEM
находим, что
MK=\sqrt{EK^{2}+ME^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=a.
Следовательно,
S_{CFMN}=\frac{CF+MN}{2}\cdot MK=\frac{a+\frac{a}{2}}{2}\cdot a=\frac{3a^{2}}{2}.