9515. Основание ABCDEF
шестиугольной пирамиды SABCDEF
— правильный шестиугольник. Объём пирамиды равен 1. Найдите объём пирамиды SBCM
, где M
— середина SD
.
Ответ. \frac{1}{12}
.
Решение. Диагонали AD
, BE
и CF
правильного шестиугольника ABCDEF
разбивают его на шесть равных равносторонних треугольников. Тогда, если O
— центр основания ABCDEF
, то
S_{\triangle BCD}=S_{\triangle BOC}=\frac{1}{6}S_{ABCDEF}.
Площадь основания BCD
треугольной пирамиды SBCD
в шесть раз меньше площади основания ABCDEF
данной шестиугольной пирамиды, а высоты этих пирамид, опущенные из общей вершины S
, совпадают, значит,
V_{SBCD}=\frac{1}{6}V_{ABCDEF}=\frac{1}{6}.
Поскольку M
— середина ребра SD
, высота треугольной пирамиды MBCD
, опущенная из вершины M
, вдвое меньше высоты треугольной пирамиды SBCD
с тем же основанием, поэтому
V_{MBCD}=\frac{1}{2}V_{SBCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}V_{SABCDEF}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\cdot1=\frac{1}{12}.
Следовательно,
V_{SBCM}=V_{SBCD}-V_{MBCD}=\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{1}{12}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6(г), с. 71