9519. Основания ABCDEF
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
— правильные шестиугольники. Объём призмы равен 1. Найдите объём пирамиды A_{1}BDF
.
Ответ. \frac{1}{6}
.
Решение. Пусть площадь основания призмы равна S
, высота призмы равна h
, объём равен V
. Тогда высота пирамиды A_{1}BDF
, проведённая из вершины A_{1}
, также равна h
.
Диагонали AD
, BE
и CF
правильного шестиугольника ABCDEF
пересекаются в его центре O
и разбивают шестиугольник на шесть равных равносторонних треугольников. Тогда
S_{\triangle BCD}=S_{\triangle BOC}=\frac{1}{6}S.
Аналогично,
S_{\triangle DEF}=\frac{1}{6}S,~S_{\triangle BAF}=\frac{1}{6}S.
Тогда
S_{\triangle BDF}=S-3\cdot\frac{1}{6}S=\frac{1}{2}S.
Значит,
V_{A_{1}BDF}=\frac{1}{3}S_{\triangle BDF}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S\cdot h=\frac{1}{6}Sh=\frac{1}{6}V=\frac{1}{6}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5(в), с. 71