9526. Объём параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен 1. Найдите объём общей части пирамид ACB_{1}D_{1}
и BDA_{1}C_{1}
.
Ответ. \frac{1}{6}
.
Решение. Пусть объём параллелепипеда равен V
. Общая часть пирамид ACB_{1}D_{1}
и A_{1}C_{1}BD
— восьмигранник, вершины которого совпадают с центрами граней всех шести граней параллелепипеда (октаэдр). Этот восьмигранник состоит из двух равных четырёхугольных пирамид. Высота каждой из этих пирамид равна половине ребра параллелепипеда, а площадь основания равна половине площади соответствующей грани параллелепипеда. Следовательно, искомый объём равен
2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{1}{6}V=\frac{1}{6}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1(д), с. 70
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 3.22, с. 47