9527. Объём параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен 1. Найдите объёмы частей, на которые параллелепипед разбивается плоскостью, проходящей через вершины A
, C
и середину ребра A_{1}D_{1}
.
Ответ. \frac{7}{24}
, \frac{17}{24}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра A_{1}D_{1}
, P
— точка пересечения прямых AM
и DD_{1}
, лежащих в плоскости AA_{1}D_{1}D
, N
— точка пересечения прямых PC
и C_{1}D_{1}
, лежащих в плоскости CC_{1}D_{1}D
. Тогда сечение параллелепипеда плоскостью ACM
— трапеция AMNC
.
Пусть V
— объём данного параллелепипеда, S
— площадь грани ABCD
, h
— высота, опущенная на плоскость ABCD
, V_{1}
— объём треугольной пирамиды PACD
, V_{2}
— объём подобной ей пирамиды PMND_{1}
, V_{3}
— объём той части данного параллелепипеда, которая содержит точку D
.
Из равенства треугольников PD_{1}M
и AA_{1}M
получаем, что PD_{1}=DD_{1}
, поэтому \frac{PD_{1}}{PD}=\frac{1}{2}
. Значит, коэффициент подобия треугольных пирамид PMND_{1}
и PACD
равен \frac{1}{2}
. Тогда
V_{1}=\frac{1}{3}S_{\triangle ACD}\cdot2h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S\cdot2h=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}V,
V_{1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}V_{1}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{24}V,
V_{3}=V_{1}-V_{2}=\frac{1}{3}V-\frac{1}{24}V=\frac{7}{24}V=\frac{7}{24}.
Объём оставшейся части параллелепипеда равен 1-\frac{7}{24}V=\frac{17}{24}V
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1(г), с. 70