9533. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
. Боковое ребро AA_{1}
равно стороне основания ABCDEF
. Найдите угол между прямыми BD_{1}
и CD
.
Ответ. \arccos\frac{3}{4}
.
Решение. Пусть O
— центр основания ABCDEF
. Поскольку BO\parallel CD
, угол между скрещивающимися прямыми BD_{1}
и CD
равен углу между пересекающимися прямыми BD_{1}
и OB
, т. е. углу OBD_{1}
треугольника OBD_{1}
.
Пусть все рёбра пирамиды равны 1. Из прямоугольных треугольников ODD_{1}
и BDD_{1}
находим, что
OD_{1}^{2}=BD^{2}+DD_{1}^{2}=1+1=2,
BD_{1}=\sqrt{BD^{2}+DD_{1}^{2}}=\sqrt{3+1}=2.
Следовательно,
\cos\angle OBD_{1}=\frac{OB^{2}+BD_{1}^{2}-OD_{1}^{2}}{2OB\cdot BD_{1}}=\frac{1+4-2}{2\cdot1\cdot2}=\frac{3}{4}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — , № 5(в), с. 17