9535. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с вершиной S
. Все рёбра пирамиды равны, M
— середина бокового ребра SD
. Найдите угол между прямыми SA
и CM
.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{3}}{6}
.
Решение. Пусть K
— середина ребра AD
. Тогда MK\parallel SA
(средняя линия треугольника ASD
). Значит, угол между скрещивающимися прямыми SA
и CM
равен углу между пересекающимися прямыми MK
и CM
.
Пусть все рёбра данной пирамиды равны 2. Тогда
MK=\frac{1}{2}SA=1,~CM=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},
CK^{2}=CD^{2}+DK^{2}=4+1=5.
Следовательно, по теореме косинусов
\cos\angle CMK=\frac{MK^{2}+CM^{2}-CK^{2}}{2MK\cdot CM}=\frac{1+3-5}{2\cdot1\cdot\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{6},
а так как угол между прямыми не может быть тупым, то искомый угол равен \arccos\frac{\sqrt{3}}{6}
.