9541. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Точка M
— середина ребра B_{1}C_{1}
. Найдите угол между прямыми AC_{1}
и BM
.
Ответ. \arccos\sqrt{\frac{3}{5}}
.
Решение. Введём прямоугольную систему координат, взяв за её начало вершину A
и направив оси Ax
, Ay
и Az
по лучам AD
, AB
и AA_{1}
соответственно. Пусть ребро куба равно 2. Найдём координаты нужных точек: A(0;0;0)
, C_{1}(2;2;2)
, B(0;2;0)
, M(1;2;2)
. Косинус угла между прямыми AC_{1}
и BM
равен модулю косинуса угла между векторами \overrightarrow{AC_{1}}(2-0;2-0;2-0)=\overrightarrow{AC_{1}}(2;2;2)
и \overrightarrow{BM}(1-0;2-2;2-0)=\overrightarrow{BM}(1;0;2)
, т. е.
\cos\varphi=\left|\frac{2\cdot1+2\cdot0+2\cdot2}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}\cdot\sqrt{1^{2}+0^{2}+2^{2}}}\right|=\sqrt{\frac{3}{5}}.