9542. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
со стороной основания 2\sqrt{7}
и боковым ребром 2\sqrt{15}
. Точка M
— середина ребра BB_{1}
. Найдите угол между плоскостями AMC
и A_{1}BC_{1}
.
Ответ. \arccos\frac{1}{6}
.
Решение. Пусть K
и N
— середины рёбер AC
и A_{1}C_{1}
соответственно. На прямой, проходящей через вершину B
параллельно AC
отметим точку T
так, чтобы луч BT
был сонаправлен с лучом AC
. Введём прямоугольную систему координат, взяв за её начало вершину B
и направив оси Bx
, By
и Bz
по лучам BK
, BT
и BB_{1}
соответственно. Найдём координаты следующих точек: B(0;0;0)
, K(\sqrt{21};0;0)
, N(\sqrt{21};0;2\sqrt{15})
, M(0;0;\sqrt{15})
. Тогда уравнение плоскости A_{1}BC_{1}
можно записать в виде z=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}x
, или 2x\sqrt{5}-z\sqrt{7}=0
, а уравнение плоскости AMC
— \frac{x}{\sqrt{21}}+\frac{z}{\sqrt{15}}=1
, или x\sqrt{5}+z\sqrt{7}-\sqrt{105}=0
. Косинус угла между плоскостями A_{1}BC_{1}
и AMC
равен модулю косинуса угла между векторами нормалей этих плоскостей, т. е. между векторами \overrightarrow{n_{1}}(2\sqrt{5};0;-\sqrt{7})
и \overrightarrow{n_{2}}(\sqrt{5};0;\sqrt{7})
. Следовательно,
\cos\varphi=\left|\frac{2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}+0\cdot0-\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{7})^{2}}\cdot\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{7})^{2}}}\right|=\frac{1}{6}.