9545. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A
, C_{1}
и середину T
ребра A_{1}B_{1}
проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC
.
Ответ. \arctg3
.
Решение. а) Сечение призмы указанной плоскостью — треугольник ATC_{1}
. Отрезок C_{1}T
— медиана, а значит, и высота равностороннего треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Отрезок A_{1}T
— ортогональная проекция наклонной AT
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}
. При этом A_{1}T\perp C_{1}T
, следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах AT\perp C_{1}T
, т. е. треугольник ATC_{1}
прямоугольный с прямым углом при вершине T
.
б) Плоскости ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
параллельны, поэтому угол между плоскостью сечения ATC_{1}
и плоскостью ABC
равен углу между плоскостью ATC_{1}
и плоскостью A_{1}B_{1}C_{1}
. Поскольку A_{1}T\perp C_{1}T
и AT\perp C_{1}T
, угол ATA_{1}
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ATC_{1}
и A_{1}B_{1}C_{1}
.
Из прямоугольного треугольника ATA_{1}
находим, что
\tg\angle ATA_{1}=\frac{AA_{1}}{TA_{1}}=\frac{3}{1}=3.
Следовательно, \angle ATA_{1}=\arctg3
.