9553. Точки P
и Q
— середины рёбер AD
и CC_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно.
а) Докажите, что прямые B_{1}P
и QB
перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P
и перпендикулярной прямой BQ
, если ребро куба равно 4.
Ответ. 8\sqrt{5}
.
Решение. а) Пусть N
— середина ребра BC
. Тогда PN\parallel AB
, а так как AB
— перпендикуляр к плоскости BB_{1}C_{1}C
, то PN
— также перпендикуляр к этой плоскости. Значит, NB_{1}
— ортогональная проекция наклонной PQ
на плоскость BB_{1}C_{1}C
.
Пусть M
— точка пересечения отрезков B_{1}N
и BQ
. Треугольники NBB_{1}
и QCB
равны по двум катетам, поэтому
\angle NB_{1}B=\angle QBC=90^{\circ}-\angle MBB_{1}.
Значит,
\angle NBB_{1}+\angle MBB_{1}=90^{\circ}.
Следовательно,
\angle BMB_{1}=180^{\circ}-(\angle NBB_{1}+\angle MBB_{1})=90^{\circ},
и по теореме о трёх перпендикулярах B_{1}P\perp QB
.
б) Плоскость PNB_{1}A_{1}
проходит через точку P
и перпендикулярна прямой BQ
(BQ\perp NB_{1}
и BQ\perp A_{1}B_{1}
). Значит, сечение, о котором говорится в условии задачи, — прямоугольник PNB_{1}A_{1}
.
Из прямоугольного треугольника BNB_{1}
находим, что
NB_{1}=\sqrt{BB_{1}^{2}+BN^{2}}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}.
Следовательно,
S_{PNB_{1}A_{1}}=A_{1}B_{1}\cdot NB_{1}=4\cdot2\sqrt{5}=8\sqrt{5}.