9556. Основанием прямой призмы ABCA'B'C'
служит прямоугольный треугольник ABC
с катетами AB=3
и AC=4
. Через середину бокового ребра BB'=10
параллельно AC
проведена прямая l
. Какие значения может принимать площадь параллелограмма, у которого две вершины — точки A
и B
, а остальные две вершины лежат на прямых A'C
и l
соответственно?
Ответ. 3\sqrt{29}
или 3\sqrt{60}
.
Решение. Пусть AB
— сторона параллелограмма, о котором говорится в условии задачи. Через центр D
боковой грани AA'C'C
проведём прямую l'
параллельную l
. Через точку D
проведём прямую, параллельную AB
. Эта прямая лежит в плоскости параллельных прямых l
и l'
, значит, она пересекает прямую l
в некоторой точке L
. Тогда ABLD
— параллелограмм, удовлетворяющий условию задачи.
Прямая AB
перпендикулярна пересекающимся прямым AC
и AA'
плоскости AA'C'C
, значит, AB\perp AD
, т. е. ABLD
— прямоугольник. Его площадь равна
AB\cdot AD=AB\cdot\frac{1}{2}\sqrt{AC^{2}+AA'^{2}}=3\cdot\frac{1}{2}\sqrt{16+100}=3\sqrt{29}.
Пусть теперь A
и B
— противоположные вершины параллелограмма. Тогда две другие его вершины симметричны относительно середины ребра AB
. Прямая l''
, симметричная l
относительно середины AB
, лежит в плоскости AA'C'C
, параллельна AC
, отстоит от AC
на расстоянии, равном половине ребра AA'
, и пересекает прямые AA'
и A'C
в некоторых точках F
и E
соответственно. Если P
— точка, симметричная E
относительно середины ребра AB
, то APBE
— ещё один параллелограмм, удовлетворяющий условию задачи.
Треугольники A'FE
и A'AC
подобны с коэффициентом \frac{A'F}{AA'}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}
, поэтому FE=\frac{3}{2}AC=\frac{3}{2}\cdot4=6
.
Площадь параллелограмма APBE
вдвое больше площади прямоугольного треугольника ABE
, т. е. равна
AB\cdot AE=AB\cdot\sqrt{AF^{2}+EF^{2}}=3\cdot\sqrt{25+36}=3\sqrt{61}.