9557. Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Докажите, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.
Решение. Пусть M
, N
, P
, K
, L
и R
— середины рёбер соответственно SA
, SC
, SB
, AB
, BC
и AC
тетраэдра SABC
.
Отрезки KL
и LN
— средние линии треугольников ABC
и BSC
, значит, KL=\frac{1}{2}AC
и LN=\frac{1}{2}SB
. Применив неравенство треугольника к треугольнику KLN
, получим, что
KN\lt KL+LN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}SB=\frac{AC+SB}{2}.
Аналогично
PR\lt KP+KR=\frac{AS+BC}{2},~LM\lt LR+MR=\frac{AB+SC}{2}.
Сложив почленно эти три неравенства, получим требуемое.