9563. Площади боковых граней треугольной призмы относятся как 5:4:2
. Найдите наибольший из углов между этими гранями.
Ответ. 180^{\circ}-\arccos\frac{5}{16}
.
Решение. Рассмотрим призму ABCA'B'C'
и её перпендикулярное сечение PQR
. Поскольку площадь боковой грани равна произведению бокового ребра призмы и стороны проведённого сечения, то стороны треугольника PQR
пропорциональны площадям боковых граней, т. е. равны 5x
, 4x
и 2x
.
Углы этого треугольника являются линейными углами двугранных углов между боковыми гранями. Наибольшим из них является угол \alpha
, лежащий против наибольшей стороны треугольника PQR
, равной 5x
.
По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{4x^{2}+16x^{2}-25x^{2}}{2\cdot2x\cdot4x}=-\frac{5}{16}.
Следовательно,
\alpha=\arccos\left(-\frac{5}{16}\right)=180^{\circ}-\arccos\frac{5}{16}.