9564. В треугольной пирамиде ABCD
плоские углы при вершине D
прямые, а H
— основание высоты пирамиды, опущенной из этой вершины. Известно, что отношение площадей треугольников AHB
и BHC
равно k
. Найдите отношение площадей граней ADB
и BDC
.
Ответ. \sqrt{k}
.
Решение. Пусть \alpha
и \gamma
— величины двугранных углов при рёбрах BC
и AB
соответственно. Поскольку треугольники AHB
и BHC
— ортогональные проекции граней ADB
и BDC
на плоскость ABC
, то по теореме о площади ортогональной проекции
S_{\triangle ADB}=\frac{S_{\triangle AHB}}{\cos\gamma}~\mbox{и}~S_{\triangle BDC}=\frac{S_{\triangle BHC}}{\cos\alpha}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ADB}}{S_{\triangle BDC}}=\frac{S_{\triangle AHB}}{S_{\triangle BHC}}\cdot\frac{\cos\alpha}{\cos\gamma}=k\cdot\frac{\cos\alpha}{\cos\gamma}.
Т.к. все плоские углы при вершине D
прямые, то, в силу признака перпендикулярности прямой и плоскости, рёбра AD
, BD
и CD
перпендикулярны плоскостям BCD
, ADC
и ADB
соответственно. Следовательно, ортогональными проекциями треугольника ABC
на плоскости BCD
и ABD
являются грани BCD
и ABD
соответственно. Ещё раз воспользовавшись теоремой о площади ортогональной проекции, получим, что
S_{\triangle ABC}=\frac{S_{\triangle ADB}}{\cos\gamma}=\frac{S_{\triangle BDC}}{\cos\alpha}.
Значит, \frac{\cos\alpha}{\cos\gamma}=\frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle ADB}}
.
Подставив полученное соотношение в правую часть равенства \frac{S_{\triangle ADB}}{S_{\triangle BDC}}=k\cdot\frac{\cos\alpha}{\cos\gamma}
, получим, что \left(\frac{S_{\triangle ADB}}{S_{\triangle BDC}}\right)^{2}=k
, т. е. \frac{S_{\triangle ADB}}{S_{\triangle BDC}}=\sqrt{k}
.