9577. На столе стоит правильная треугольная пирамида PABC
(сделанная из стекла), все рёбра которой равны 1. Муравей ползёт из точки M
, лежащей на луче AB
на расстоянии 2 от точки B
, в точку N
— середину ребра PC
. Найдите длину его кратчайшего пути.
Ответ. \frac{\sqrt{31}}{2}
.
Решение. Рассмотрим произвольный путь муравья из точки M
в точку N
по столу и по грани PBC
пирамиды. Этот маршрут должен пройти через некоторую точку Q
ребра BC
.
Пусть K
— середина отрезка AC
. Тогда QN=QK
(соответствующие отрезки в равных треугольниках PBC
и ABC
). Поэтому расстояние, пройденное муравьём, равно
MQ+QN=MQ+QK\geqslant MK
(неравенство треугольника). Равенство достигается тогда и только тогда, когда точка Q
совпадает с точкой R
пересечения MK
и BC
.
Таким образом, длина кратчайшего пути муравья равна длине отрезка MK
, которую можно вычислить, например, по теореме косинусов из треугольника QMK
:
MK^{2}=AM^{2}+AK^{2}-2AM\cdot AK\cos60^{\circ}=9+\frac{1}{4}-2\cdot3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{31}{4}.
Следовательно, MK=\frac{\sqrt{31}}{4}
.