9582. В тетраэдре DABC
известно, что \angle ACB=\angle ADB
, прямая CD
перпендикулярна плоскости ABC
. В треугольнике ABC
дана высота h
, проведённая к стороне AB
, и расстояние d
от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите CD
.
Решение. Пусть в тетраэдре DABC
точка P
— основание перпендикуляра, опущенного на прямую AB
из точки C
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах DP\perp AB
(рис. 1). Так как \angle ACB=\angle ADB
, то равны и радиусы окружностей, описанных около граней ABC
и ABD
. Поскольку прямая CD
перпендикулярна плоскости ABC
, эти грани не могут быть равными.
Рассмотрим треугольник ABC
и треугольник ABD'
, равный треугольнику ABD
, вписав их в одну окружность (рис. 2). Поскольку \angle ACB=\angle AD'B
, они расположены в одной полуплоскости относительно прямой AB
. Кроме того, перпендикуляры, проведённые к прямой AB
из точек C
и D'
, попадут в одну и ту же точку P
.
Тогда
CP=h;~D'P=h+2(d-h)=2d-h,
а так как DP=D'P
, то
CD=\sqrt{DP^{2}-CP^{2}}=\sqrt{(2d-h)^{2}-h^{2}}=\sqrt{d(d-h)}.
Автор: Шарыгин И. Ф.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2004, № 12, 10-11 классы