9584. Даны скрещивающиеся прямые a
и b
. Через точку A
, лежащую на прямой a
, провели прямую b'
, параллельную b
. Через пересекающиеся прямые a
и b'
провели плоскость \alpha
. Докажите, что расстояние между прямыми a
и b
равно расстоянию от произвольной точки прямой b
до плоскости \alpha
.
Решение. Прямая b
параллельна плоскости \alpha
, так как она параллельна прямой b'
лежащей в этой плоскости. Значит, все точки прямой b
равноудалены от плоскости \alpha
.
Пусть B
— произвольная точка прямой b
, а C
— ортогональная проекция точки B
на плоскость \alpha
. Через точку C
проведём прямую, параллельную b'
. Пусть эта прямая пересекается с прямой a
в точке X
, а прямая, проведённая через точку X
параллельно BC
пересекает прямую b
в точке Y
. Тогда отрезок XY
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых a
и b
, так как XY\parallel BC
, а BC\perp a
и BC\perp b'
, т. е. BC\perp a
и BC\perp b
. При этом BC=XY
.
Следовательно, отрезок AB
равен общему перпендикуляру скрещивающихся прямых a
и b
, т. е. расстояние между этими прямыми равно длине отрезка BC
.