9585. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
(ABCDEF
— основание) боковое ребро равно a
, плоский угол при вершине S
равен 10^{\circ}
. Муравей ползёт по поверхности пирамиды из вершины A
, стремится побывать на всех боковых рёбрах (возможно в вершинах) и вернуться в точку A
. Какова длина его кратчайшего пути?
Ответ. a
.
Решение. «Разрежем» пирамиду SABCDEF
по ребру SA
и сделаем развёртку. Тогда любой маршрут по боковой поверхности пирамиды, удовлетворяющий условию, будет на развёртке являться ломаной, соединяющей точки плоскости A
и A_{1}
.
Кратчайший путь из A
в A_{1}
равен длине отрезка AA_{1}
. Заметим, что в равнобедренном треугольнике ASA_{1}
угол при вершине S
равен 60^{\circ}
. Следовательно, этот треугольник равносторонний, тогда AA_{1}=a
.
Отметим, что траекторию движения муравья по самой пирамиде указывать не требуется.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2017-2018, XLIV, муниципальный этап, № 3, 11 класс