9607. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a
, а высота пирамиды равна h
. Рассматриваются правильные четырёхугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что нижнее основание каждой из них лежит внутри основания пирамиды, а вершины верхнего основания — на боковых рёбрах пирамиды. Найдите наибольшую площадь боковой поверхности таких призм.
Ответ. ah
.
Решение. Пусть SO=h
— высота правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
, основание которой — квадрат ABCD
со стороной AB=2
. Основание EFGH
правильной четырёхугольной призмы EFGHE_{1}F_{1}G_{1}H_{1}
с центром O_{1}
лежит в плоскости ABCD
, а вершины E_{1}
, F_{1}
, G_{1}
и H_{1}
— на боковых рёбрах соответственно SA
, SB
, SC
и SD
пирамиды ABCD
. Тогда точки E
, F
, G
и H
лежат на отрезках OA
, OB
, OC
и OD
соответственно.
Обозначим \frac{SE_{1}}{SA}=x
(0\lt x\lt1
), EF=b
, EE_{1}=c
. Из подобия прямоугольных треугольников AEE_{1}
и AOS
получаем, что
c=EE_{1}=(1-x)SO=(1-x)h,~
а из подобия треугольников E_{1}SF_{1}
и ASB
—
b=E_{1}F_{1}=xAB=xa.
Пусть S
— площадь боковой поверхности призмы. Тогда
S=4S_{EE_{1}F_{1}F}=4cb=4(1-x)h\cdot xa=4ahx(1-x)\leqslant
\leqslant4ah\cdot\left(\frac{x+(1-x)}{2}\right)^{2}=4ah\cdot\frac{1}{4}=ah,
причём равенство достигается в случае, когда x=1-x
, т. е. при x=\frac{1}{2}
.