9608. Рассматриваются прямоугольные параллелепипеды, полная поверхность которых равна 104, а площадь одной из граней в три раза больше площади другой. Найдите наименьшее значение суммы длин всех рёбер такого параллелепипеда.
Ответ. 52
.
Решение. Пусть x
, y
и z
— измерения прямоугольного параллелепипеда. Тогда его полная поверхность равна 2(xy+yz+xz)=104
, при этом, например, yz=3xy
, откуда z=3x
. Значит,
52=xy+yz+xz=xy+3xy+3x^{2}=4xy+3x^{2},
откуда
y=\frac{52-3x^{2}}{4x}~(0\lt x\lt\sqrt{\frac{52}{3}}).
Следовательно,
4x+4y+4z=4\left(x+\frac{52-3x^{2}}{4x}+3x\right)=4\left(4x+\frac{52-3x^{2}}{4x}\right)=
=\frac{13(x^{2}+4)}{x}=13\left(x+\frac{4}{x}\right)\geqslant13\cdot2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=13\cdot4=52,
причём равенство достигается в случае, когда x=\frac{4}{x}
(x\gt0
), т. е. при x=2
. Тогда y=5
и z=6
.