9609. Рассматриваются конусы, образующая которых имеет фиксированную длину и составляет с высотой угол \alpha
. В каждый такой конус вписывается правильная шестиугольная призма с равными рёбрами (одно основание призмы лежит внутри основания конуса, а вершины другого лежат на боковой поверхности конуса). При каком значении \alpha
площадь боковой поверхности призмы будет наибольшей?
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть S
— вершина конуса, A
и B
— вершины призмы, лежащие внутри основания конуса, а A_{1}
и B_{1}
— соответствующие им вершины призмы, лежащие на боковой поверхности конуса, O
и O_{1}
— центры оснований призмы (точка O
лежит внутри основания конуса).
Пусть образующая конуса равна l
, а ребро призмы равно a(\alpha)
. Проведём осевое сечение конуса, проходящее через ребро AA_{1}
. Получим равнобедренный треугольник KSL
, в котором SK=SL=l
и \angle KSL=2\alpha
. Поскольку O_{1}A_{1}=OA=AA_{1}
, четырёхугольник OAA_{1}O_{1}
— квадрат. Из прямоугольных треугольников SOK
и A_{1}AK
находим, что
OK=l\sin\alpha,~AK=AA_{1}\tg AA_{1}K=a(\alpha)\tg\alpha,
а так как OK=OA+AK
, то
l\sin\alpha=a(\alpha)+a(\alpha)\tg\alpha,
откуда
a(\alpha)=\frac{l\sin\alpha}{\tg\alpha+1}=\frac{l\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=
=\frac{1}{2}l\cdot\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\leqslant\frac{l}{2}\sqrt{\frac{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}{2}}=\frac{l}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}
(среднее гармоническое не превосходит среднего квадратичного), причём равенство достигается в случае, когда \sin\alpha=\cos\alpha
(0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}
), т. е. при \alpha=45^{\circ}
. В этом случае боковая поверхность призмы равна
6a^{2}(45^{\circ})=6l^{2}\cdot\frac{1}{8}=\frac{3l^{2}}{4}.