9610. Из круга радиуса R
вырезан сектор, из которого склеена боковая поверхность конуса. Каков наибольший объём получившейся конической воронки?
Ответ. \frac{2\pi R^{3}}{9\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть угол сектора равен \alpha
(0\lt\alpha\lt2\pi
), радиус основания полученного конуса равен r
. Тогда длина окружности основания конуса равна длине дуги сектора, т. е. \alpha R=2\pi r
, откуда r=\frac{\alpha R}{2\pi}
.
Пусть объём конуса равен V(\alpha)
, а высота конуса равна h
. Образующая конуса равна R
, поэтому
h=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{\alpha^{2}R^{2}}{4\pi^{2}}}=\frac{R}{2\pi}\sqrt{4\pi^{2}-\alpha^{2}},
V(\alpha)=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{\alpha^{2}R^{2}}{4\pi^{2}}\cdot\frac{R}{2\pi}\sqrt{4\pi^{2}-\alpha^{2}}=\frac{R^{3}}{24\pi^{2}}\alpha^{2}\cdot\sqrt{4\pi^{2}-\alpha^{2}}=
=\frac{R^{3}}{24\pi^{2}}\cdot\sqrt{\alpha^{4}(4\pi^{2}-\alpha^{2})}=\frac{R^{3}}{24\pi^{2}}\cdot\sqrt{4\cdot\frac{\alpha^{2}}{2}\cdot\frac{\alpha^{2}}{2}(4\pi^{2}-\alpha^{2})}\leqslant
\leqslant\frac{R^{3}}{12\pi^{2}}\cdot\sqrt{\left(\frac{\frac{\alpha^{2}}{2}+\frac{\alpha^{2}}{2}+(4\pi^{2}-\alpha^{2})}{3}\right)^{3}}=\frac{R^{3}}{12\pi^{2}}\cdot\sqrt{\frac{64\pi^{6}}{27}}=\frac{2\pi R^{3}}{9\sqrt{3}},
причём равенство достигается в случае, когда \frac{\alpha^{2}}{2}=4\pi^{2}-\alpha^{2}
, т. е. при \alpha=2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}\lt2\pi
.