9616. Рассматриваются отрезки, один конец которых расположен на окружности, вписанной в грань ABCD
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром 1, а другой конец — на окружности, проходящей через вершины A_{1}
, B
и D
. Найдите наименьшую длину рассматриваемых отрезков.
Ответ. \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Рассмотрим две концентрические сферы: касающуюся всех рёбер куба и описанную около куба. Радиусы этих сфер равны соответственно \frac{\sqrt{2}}{2}
и \frac{\sqrt{3}}{2}
, а их центры совпадают с центром куба. Окружности, о которых говорится в условии, лежат на этих сферах. Следовательно, длины рассматриваемых отрезков не меньше, чем расстояние между сферами, равное разности их радиусов. Остаётся доказать, что среди этих отрезков найдётся отрезок, равный \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}
.
Пусть S_{1}
— окружность, вписанная в грань ABCD
, S_{2}
— окружность, проходящая через вершины A_{1}
, B
и D
, O
— центр куба (рис. 1). При гомотетии с центром O
и коэффициентом \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
сфера, касающаяся всех рёбер куба, перейдёт в сферу, описанную около куба, а окружность S_{1}
, лежащая на первой сфере, — в некоторую окружность S_{1}'
лежащую на второй. Если окружности S_{1}'
и S_{2}
имеют общую точку M
, а N
— точка окружности S_{1}
, переходящая в M
, то MN
— искомый отрезок.
Докажем, что такая точка M
действительно существует. Рассмотрим ортогональную проекцию всей конфигурации на плоскость диагонального сечения AA_{1}C_{1}C
данного куба (рис. 2). Пусть E
и F
— точки пересечения окружности S_{1}
с отрезком AC
, O'
— центр этой окружности (середина EF
), P
и Q
— образы точек соответственно E
и F
при рассматриваемой гомотетии, X
— точка пересечения луча A_{1}O'
с окружностью \Omega
, описанной около прямоугольника AA_{1}C_{1}C
. Тогда EF
— проекция окружности S_{1}
, PQ
— проекция окружности S_{1}'
, а A_{1}X
— проекция окружности S_{2}
.
Хорды A_{1}X
и PQ
окружности \Omega
пересекаются в некоторой точке M'
, так как точки A_{1}
и X
лежат по разные стороны от прямой PQ
. Тогда в качестве точки M
возьмём одну из точек окружности S_{1}'
, проекция которой на плоскость AA_{1}C_{1}C
совпадает с M
. Отсюда следует решение задачи.