9618. Пусть R
и r
— радиусы соответственно описанного и вписанного шаров тетраэдра. Докажите, что R\geqslant3r
.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
— точки пересечения медиан граней соответственно BDC
, ADC
, ADB
и ABC
тетраэдра ABCD
. Медианы AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
тетраэдра ABCD
пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1
, считая от вершины (см. задачу 7110), поэтому при гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом -\frac{1}{3}
тетраэдр ABCD
переходит в тетраэдр A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Пусть R_{1}
— радиус шара, описанного около тетраэдра A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда R=3R_{1}
, а так как R_{1}\geqslant r
, то R\geqslant3r
.
Это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD
— правильный тетраэдр.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 263, с. 36
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — с. 167
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 12.18, с. 187