9621. В тетраэдре ABCD
известно, что DA
, DB
и DC
равны соответствующим высотам треугольника ABC
(т. е. DA
равно высоте, проведённой из вершины A
и т. д.). Докажите, что сфера, проходящая через три вершины тетраэдра, пересекает рёбра, выходящие из четвёртой вершины, в трёх точках — вершинах равностороннего треугольника.
Решение. Пусть сфера, проходящая через точки A
, B
и C
, пересекает рёбра DA
, DB
и DC
в точках K
, L
и M
соответственно, а AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
.
Плоскость ABD
пересекается со сферой по окружности, описанной около четырёхугольника AKLB
, поэтому
\angle BAD=180^{\circ}-\angle AKL=\angle DKL.
Треугольник LDK
подобен треугольнику ADB
по двум углам, поэтому KL=AB\cdot\frac{DL}{DA}
. Аналогично, из подобия треугольников MDL
и BDC
получаем, что ML=BC\cdot\frac{DL}{DC}
. Тогда
KL=ML~\Leftrightarrow~AB\cdot\frac{DL}{DA}=BC\cdot\frac{DL}{DC}~\Leftrightarrow~\frac{AB}{DA}=\frac{BC}{DC}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~AB\cdot DC=BC\cdot DA~\Leftrightarrow~AB\cdot CC_{1}=BC\cdot AA_{1}.
Последнее равенство верно, так как обе его части равны удвоенной площади треугольника ABC
. Значит, KL=MN
. Аналогично докажем, что MN=KM
. Следовательно, треугольник KLM
равносторонний.
Аналогично для сфер, проходящих через вершины треугольников ADB
, ADC
или BDC
.
Примечание. Утверждение задачи верно для любого тетраэдра, у которого произведения противоположных рёбер равны.