9623. В сферу радиуса R
вписана правильная треугольная призма со стороной основания a
. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и сторону основания призмы.
Ответ. \frac{2}{3}a\sqrt{4R^{2}-a^{2}}
.
Решение. Пусть правильная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с основаниями ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
(AB=a
) вписана в сферу радиуса R
с центром O
. Пусть Q
и Q_{1}
— центры соответственно первого и второго оснований, M
и M_{1}
— середины рёбер AB
и A_{1}B_{1}
соответственно.
Проекция O'
точки O
на плоскость грани AA_{1}B_{1}B
— центр прямоугольника AA_{1}B_{1}B
, а так как O'
— середина MM_{1}
, то O
— середина QQ_{1}
. Отрезок OM
— медиана и высота равнобедренного треугольника AOB
со сторонами AB=a
, OA=OB=R
.
Пусть M'
— точка пересечения прямой MO
с плоскостью грани A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда M'
лежит на высоте C_{1}M_{1}
равностороннего треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, и так как прямоугольные треугольники OQM
и OQ_{1}M'
равны (по катету OQ_{1}=OQ
и прилежащему острому углу), то
Q_{1}M'=QM=\frac{a\sqrt{3}}{6},~M_{1}M'=2Q_{1}M_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
При этом, так как Q_{1}M'=\frac{1}{3}C_{1}M_{1}
, то C_{1}M':C_{1}M_{1}=1:3
.
Из прямоугольного треугольника AMO
находим, что
OM=\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{a^{2}}{4}}.
Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому секущая плоскость AMB
пересекает плоскость основания A_{1}B_{1}C_{1}
по прямой, проходящей через точку M'
параллельно AB
. Пусть B'
и A'
— точки пересечения этой прямой с рёбрами A_{1}C_{1}
и B_{1}C_{1}
. Тогда сечение призмы указанной плоскостью — равнобедренная трапеция ABA'B'
с основаниями AB=a
и A'B'=\frac{1}{3}A_{1}B_{1}=\frac{a}{3}
. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что отрезок MM'
— высота этой трапеции, причём
MM'=2OM=2\sqrt{R^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\sqrt{4R^{2}-a^{2}}.
Следовательно,
S_{ABA'B'}=\frac{AB+A'B'}{2}\cdot MM'=\frac{a+\frac{a}{3}}{2}\cdot\sqrt{4R^{2}-a^{2}}=\frac{2}{3}a\sqrt{4R^{2}-a^{2}}.