9624. Докажите, что если противоположные рёбра AD
и BC
тетраэдра ABCD
перпендикулярны, то высоты тетраэдра, опущенные из вершин B
и C
(а также высоты, опущенные из вершин A
и D
), пересекаются, причём эти точка лежит на общем перпендикуляре прямых AD
и BC
.
Решение. Пусть BP
— высота тетраэдра ABCD
, а плоскость BPC
пересекает прямую AD
в точке M
. Проведём высоту CQ
треугольника BMC
. Высоты CQ
и AP
треугольника BMC
пересекаются в его ортоцентре H
. Тогда третья высота MN
этого треугольника проходит через точку H
. При этом прямая AD
перпендикулярна пересекающимся прямым BC
и CM
плоскости BMC
, поэтому прямая AD
перпендикулярна этой плоскости, а значит, и лежащей в ней прямой CQ
. Тогда CQ\perp AD
и CQ\perp BM
. Следовательно, CQ
— высота тетраэдра (аналогично для высот, опущенных из вершин A
и D
), а прямые, содержащие высоты тетраэдра, проведённые из вершин B
и C
пересекаются в точке F
. Кроме того, поскольку MN\perp AD
и MN\perp BD
, то MN
— общий перпендикуляр прямых AD
и BC
, и точка принадлежит MN
.