9625. В треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
проведены две плоскости: одна через вершины A
, B
и C_{1}
, а другая — через вершины A_{1}
, B_{1}
и C
. Эти плоскости разбили призму на четыре части. Объём меньшей из них равен V
. Найдите объём призмы.
Ответ. 12V
.
Решение. Пусть M
и N
— центры граней AA_{1}C_{1}C
и BB_{1}C_{1}C
. Одна из частей, о которых говорится в условии, — треугольная пирамида MNCC_{1}
. Пусть её объём равен V_{1}
. Вторая — четырёхугольная пирамида C_{1}A_{1}B_{1}NM
с вершиной C_{1}
. Пусть её объём равен V_{2}
. Третья — четырёхугольная пирамида CABNM
с вершиной C
. Пусть её объём равен V_{3}
. Объём оставшейся четвёртой части обозначим через V_{4}
.
Поскольку отрезок MN
— средняя линия треугольника A_{1}B_{1}C
, площадь трапеции A_{1}B_{1}NM
в три раза больше площади треугольника CMN
, значит, V_{2}=3V_{1}
(у пирамид одна и та же высота, площадь основания одной втрое больше площади основания другой). Аналогично, V_{3}=3V_{1}
.
На продолжении отрезка MN
за точку N
отложим отрезок NP=MN
. Рассмотрим треугольную призму AA_{1}MBB_{1}P
с боковыми рёбрами AB
, A_{1}B_{1}
и MP
. Треугольник B_{1}NP
равен треугольнику CNM
, а точки B
и C_{1}
равноудалены от плоскости A_{1}B_{1}C
, значит, треугольная пирамида BB_{1}NP
равновелика треугольной пирамиде C_{1}CNM
, т. е. её объём равен V_{1}
. С другой стороны, объём треугольной пирамиды BB_{1}NP
в шесть раз меньше объёма треугольной призмы AA_{1}MBB_{1}P
. Значит, объём оставшейся четвёртой части исходной треугольной пирамиды равен 5V_{1}
.
Таким образом, V_{1}
— наименьший из четырёх рассматриваемых объёмов, т. е. V_{1}=V
, а также объём исходной призмы равен
V+3V+3V+5V=12V.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 51, с. 9