9630. В тетраэдре ABCD
известно, что \angle ABC=\angle BAD=90^{\circ}
, AB=a
, DC=b
, угол между рёбрами AD
и BC
равен \alpha
. Найдите радиус описанного шара.
Ответ. \frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cos^{2}\alpha}}{2\sin\alpha}
.
Решение. Достроим треугольник ABC
до прямоугольника ABCC_{1}
. Тогда AC_{1}\parallel BC
, поэтому \angle DAC_{1}=\alpha
, а так как AB\perp AC_{1}
и AB\perp AD
, то AB
— перпендикуляр к плоскости ADC_{1}
. Плоскость ABC
проходит через перпендикуляр AB
к плоскости ADC_{1}
, значит, эти плоскости перпендикулярны.
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников ADC_{1}
и ABC
соответственно, а O
— центр описанного шара данного тетраэдра, D_{1}
— середина отрезка AC_{1}
. Тогда O_{2}
— середина гипотенузы AC
прямоугольного треугольника ABC
, а O
— точка пересечения перпендикуляров к плоскостям ABC
и ADC_{1}
, восставленных в точках O_{2}
и O_{1}
соответственно. Поскольку эти плоскости перпендикулярны, OO_{1}D_{1}O_{2}
— квадрат.
Пусть R
— искомый радиус шара, описанного около данного тетраэдра, R_{1}
— радиус описанной окружности треугольника ADC_{1}
. Из прямоугольного треугольника CC_{1}D
находим, что
DC_{1}=\sqrt{CD^{2}-CC^{2}}=\sqrt{b^{2}-a^{2}}.
По теореме синусов
O_{1}A=R_{1}=\frac{DC_{1}}{2\sin\angle DAC_{1}}=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{2\sin\alpha},
а так как
OO_{1}\perp O_{1}A~\mbox{и}~OO_{1}=O_{2}D_{1}=\frac{1}{2}CC_{1}=\frac{a}{2},
из прямоугольного треугольника OO_{1}A
находим, что
R=OA=\sqrt{O_{1}A^{2}+OO_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{b^{2}-a^{2}}{4\sin^{2}\alpha}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cos^{2}\alpha}}{2\sin\alpha}.