9632. Сфера проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани. Найдите отношение объёмов шара и куба.
Ответ. \frac{41\pi\sqrt{41}}{384}
.
Решение. Пусть ребро куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равно a
, сфера проходит через вершины A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
и касается сторон квадрата ABCD
. Тогда точки касания — середины этих сторон, а центр O
сферы лежит на прямой, проходящей через центры P
и P_{1}
граней ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно.
Пусть радиус сферы равен R
, а M
— середина ребра AB
. Обозначим OP=x
. Из прямоугольных треугольников OPM
и OP_{1}D_{1}
получаем, что
R^{2}=\frac{a^{2}}{4}+x^{2}~\mbox{и}~R^{2}=\frac{a^{2}}{2}+(a-x)^{2}.
Из уравнения \frac{a^{2}}{4}+x^{2}=\frac{a^{2}}{2}+(a-x)^{2}
находим, что x=\frac{5}{8}a
. Следовательно,
R=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+x^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{25a^{2}}{64}}=\frac{a\sqrt{41}}{8}.
Пусть объёмы шара и куба равны V_{1}
и V_{2}
соответственно. Тогда
V_{1}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4\pi\cdot41\sqrt{41}a^{3}}{3\cdot8^{3}}=\frac{41\pi a^{3}\sqrt{41}}{384},~V_{2}=a^{3}.
Следовательно,
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{41\pi a^{3}\sqrt{41}}{384}}{a^{3}}=\frac{41\pi\sqrt{41}}{384}.