9633. В тетраэдре одно из рёбер равно a
, противоположное ему ребро равно b
, а остальные рёбра равны c
. Найдите радиус шара, описанного около тетраэдра.
Ответ. \frac{\sqrt{4c^{4}-a^{2}b^{2}}}{2\sqrt{4c^{2}-a^{2}-b^{2}}}
.
Решение. Пусть ABCD
— данный тетраэдр, AB=a
, CD=b
, DA=DB=AC=BC=c
, R_{1}
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, O_{1}
— центр этой окружности, R
— искомый радиус описанной сферы, O
— её центр, M
— середина ребра AB
.
Отрезок CM
— высота равнобедренного треугольника ABC
, поэтому
CM=\sqrt{AC^{2}-AM^{2}}=\sqrt{c^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{4c^{2}-a^{2}}}{2},
\sin\angle BAC=\sin\angle MAC=\frac{CM}{AC}=\frac{\frac{\sqrt{4c^{2}-a^{2}}}{2}}{c}=\frac{\sqrt{4c^{2}-a^{2}}}{2c}.
По теореме синусов
R_{1}=\frac{BC}{2\sin\angle BAC}=\frac{c}{\frac{\sqrt{4c^{2}-a^{2}}}{c}}=\frac{c^{2}}{\sqrt{4c^{2}-a^{2}}}.
Пусть MH
— высота равнобедренного треугольника CMD
со сторонами
DM=CM=\frac{\sqrt{4c^{2}-a^{2}}}{2},~DC=b.
Тогда
MH=\sqrt{CM^{2}-CH^{2}}=\sqrt{c^{2}-\frac{a^{2}}{4}-\frac{b^{2}}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4c^{2}-a^{2}-b^{2}}.
Перпендикуляры, восставленные из центров описанных окружностей равных треугольников ABC
и ABD
к их плоскостям, пересекаются в точке O
(центре описанной сферы данного тетраэдра), лежащей на биссектрисе равнобедренного треугольника CMD
. В прямоугольном треугольнике CHM
известно, что
CH=\frac{b}{2},~MH=\frac{1}{2}\sqrt{4c^{2}-a^{2}-b^{2}},~
OM=CM-OC=CM-R_{1}=\frac{\sqrt{4c^{2}-a^{2}}}{2}-\frac{c^{2}}{\sqrt{4c^{2}-a^{2}}}=
=\frac{4c^{2}-a^{2}-2c^{2}}{2\sqrt{4c^{2}-a^{2}}}=\frac{2c^{2}-a^{2}}{2\sqrt{4c^{2}-a^{2}}}.
Из подобия прямоугольных треугольников MO_{1}O
и MHC
получаем, что \frac{OO_{1}}{OM}=\frac{CH}{MH}
, откуда
OO_{1}=\frac{OM\cdot CH}{MH}=\frac{\frac{2c^{2}-a^{2}}{2\sqrt{4c^{2}-a^{2}}}\cdot\frac{b}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{4c^{2}-a^{2}-b^{2}}}=\frac{b(2c^{2}-a^{2}}{2\sqrt{4c^{2}-a^{2}}\sqrt{4c^{2}-a^{2}-b^{2}}}.
Наконец, из прямоугольного треугольника BOC
находим, что
R^{2}=OB^{2}=OO_{1}^{2}+O_{1}B^{2}=OO_{1}^{2}+R_{1}^{2}=
=\frac{b^{2}(2c^{2}-a^{2})}{4(4c^{2}-a^{2})(4c^{2}-a^{2}-b^{2})}+\frac{c^{4}}{4c^{2}-a^{2}}=
=\frac{b^{2}(4c^{4}-4a^{2}c^{2}+a^{4})+4c^{4}(4c^{2}-a^{2}-b^{2})}{4(4c^{2}-a^{2})(4c^{2}-a^{2}-b^{2})}=
=\frac{4b^{2}c^{4}-4a^{2}b^{2}c^{2}+a^{4}b^{2}+16c^{6}-4a^{2}c^{4}-4b^{2}c^{4}}{4(4c^{2}-a^{2})(4c^{2}-a^{2}-b^{2})}=
=\frac{a^{2}b^{2}(a^{2}-4c^{2})+4c^{4}(4c^{2}-a^{2})}{4(4c^{2}-a^{2})(4c^{2}-a^{2}-b^{2})}=\frac{(4c^{2}-a^{2})(4c^{4}-a^{2}b^{2})}{4(4c^{2}-a^{2})(4c^{2}-a^{2}-b^{2})}=
=\frac{4c^{4}-a^{2}b^{2}}{4(4c^{2}-a^{2}-b^{2})}.
Следовательно,
R=\frac{\sqrt{4c^{4}-a^{2}b^{2}}}{2\sqrt{4c^{2}-a^{2}-b^{2}}}.