9642. Дан параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
объёма V
. Найдите объём общей части двух тетраэдров AB_{1}CD_{1}
и A_{1}BC_{1}D
.
Ответ. \frac{1}{6}V
.
Указание. Общая часть тетраэдров AB_{1}CD_{1}
и A_{1}BC_{1}D
есть октаэдр, вершины которого совпадают с центрами граней параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Решение. Общая часть тетраэдров AB_{1}CD_{1}
и A_{1}BC_{1}D
— многогранник, все вершины которого совпадают с центрами граней параллелепипеда (октаэдр). Этот многогранник состоит из двух четырёхугольных пирамид с общим основанием. Высота каждой из этих пирамид равна половине высоты параллелепипеда, т. е. \frac{h}{2}
, а площадь общего основания равна половине площади соответствующего основания параллелепипеда, т. е. \frac{s}{2}
. Следовательно, искомый объём равен
2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{s}{2}\cdot\frac{h}{2}=\frac{1}{6}sh=\frac{1}{6}V.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 153, с. 23