9645. На грани BCD
тетраэдра ABCD
взята произвольная точка A_{1}
. Через вершину A
проведена произвольная плоскость. Прямые, проходящие через вершины B
, C
и D
параллельно прямой AA_{1}
, пересекают эту плоскость в точках B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
соответственно. Докажите, что объём тетраэдра A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен объёму тетраэдра ABCD
.
Решение. Объём треугольной пирамиды A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен сумме объёмов трёх треугольных пирамид с общей вершиной A_{1}
и основаниями AB_{1}C_{1}
, AB_{1}D_{1}
и AC_{1}D_{1}
, т. е.
V_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=V_{A_{1}AB_{1}C_{1}}+V_{A_{1}AB_{1}D_{1}}+V_{A_{1}AB_{1}C_{1}}.
Прямая CC_{1}
параллельна плоскости AA_{1}B_{1}
, поэтому тетраэдры AA_{1}B_{1}C_{1}
и AA_{1}B_{1}C
с общим основанием AA_{1}B_{1}
равновелики. Прямая BB_{1}
параллельна плоскости AA_{1}B
, поэтому тетраэдры AA_{1}B_{1}C
и AA_{1}BC
с общим основанием AA_{1}C
равновелики. Значит, тетраэдр AA_{1}B_{1}C_{1}
с вершиной A
и тетраэдр AA_{1}BC
с вершиной A_{1}
также равновелики, т. е. V_{AA_{1}B_{1}C_{1}}=V_{AA_{1}BC}
. Аналогично,
V_{AA_{1}B_{1}D_{1}}=V_{AA_{1}BD}~\mbox{и}~V_{AA_{1}C_{1}D_{1}}=V_{AA_{1}CD}.
Следовательно,
V_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=V_{AA_{1}B_{1}C_{1}}+V_{AA_{1}B_{1}D_{1}}+V_{AA_{1}C_{1}D_{1}}=
=V_{AA_{1}BC}+V_{AA_{1}BD}+V_{AA_{1}CD}=V_{ABCD}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 211, с. 30