9648. Докажите, что отношение объёмов шара и описанного около него усечённого конуса равно отношению их полных поверхностей.
Решение. Пусть радиус шара равен x
, радиусы оснований усечённого конуса равны r
и R
, образующая равна l
, а высота равна h=2x
. Тогда объём V_{1}
шара равен \frac{4}{3}\pi x^{3}
, объём V_{2}
усечённого конуса равен \frac{1}{3}\pi h(r^{2}+rR+R^{2})
. Значит,
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{4}{3}\pi x^{3}}{\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+rR+R^{2})}=\frac{4x^{3}}{h(r^{2}+rR+R^{2})}=\frac{4x^{3}}{2x(r^{2}+rR+R^{2})}=\frac{2x^{2}}{r^{2}+rR+R^{2}}.
Пусть S_{1}
и S_{2}
— полные поверхности шара и усечённого конуса соответственно. Тогда S_{1}=4\pi x^{2}
, а так как осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная описанная трапеция с боковой стороной l
и основаниями 2r
и 2R
, то l=r+R
, поэтому
S_{2}=\pi(r+R)l+\pi r^{2}+\pi R^{2}=\pi((r+R)^{2}+r^{2}+R^{2})=2\pi(r^{2}+rR+R^{2}).
Следовательно,
\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{4\pi x^{2}}{2\pi(r^{2}+rR+R^{2})}=\frac{2x^{2}}{r^{2}+rR+R^{2}}=\frac{V_{1}}{V_{2}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 3.8, с. 46
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 3.10, с. 35
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 33, с. 7
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 8.3, с. 156