9648. Докажите, что отношение объёмов шара и описанного около него усечённого конуса равно отношению их полных поверхностей.
Решение. Пусть радиус шара равен x
, радиусы оснований усечённого конуса равны r
и R
, образующая равна l
, а высота равна h=2x
. Тогда объём V_{1}
шара равен \frac{4}{3}\pi x^{3}
, объём V_{2}
усечённого конуса равен \frac{1}{3}\pi h(r^{2}+rR+R^{2})
. Значит,
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{4}{3}\pi x^{3}}{\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+rR+R^{2})}=\frac{4x^{3}}{h(r^{2}+rR+R^{2})}=\frac{4x^{3}}{2x(r^{2}+rR+R^{2})}=\frac{2x^{2}}{r^{2}+rR+R^{2}}.
Пусть S_{1}
и S_{2}
— полные поверхности шара и усечённого конуса соответственно. Тогда S_{1}=4\pi x^{2}
, а так как осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная описанная трапеция с боковой стороной l
и основаниями 2r
и 2R
, то l=r+R
, поэтому
S_{2}=\pi(r+R)l+\pi r^{2}+\pi R^{2}=\pi((r+R)^{2}+r^{2}+R^{2})=2\pi(r^{2}+rR+R^{2}).
Следовательно,
\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{4\pi x^{2}}{2\pi(r^{2}+rR+R^{2})}=\frac{2x^{2}}{r^{2}+rR+R^{2}}=\frac{V_{1}}{V_{2}}.
Что и требовалось доказать.