9651. Дан шар и точка внутри него. Через точку проведены три попарно перпендикулярные плоскости, пересекающие шар по трём кругам. Докажите, что сумма площадей этих кругов постоянна, и найдите эту сумму, если радиус шара равен R
, а расстояние от точки пересечения плоскостей до центра шара равно d
.
Ответ. \pi(3R^{2}-d^{2})
.
Решение. Пусть O
— центр шара, а расстояния от данной внутри шара точки M
до трёх проведённых плоскостей равны x_{1}
, x_{2}
и x_{3}
. Тогда OM
— диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями x_{1}
, x_{2}
и x_{3}
. Поэтому
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=OM^{2}=d^{2}.
Пусть R_{1}
, R_{2}
и R_{3}
— радиусы соответствующих кругов, о которых говорится в условии, а S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
— площади этих кругов. Тогда
S_{1}+S_{2}+S_{3}=\pi R_{1}^{2}+\pi R_{2}^{2}+\pi R_{3}^{2}=\pi(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2})=
=\pi((R^{2}-x_{1}^{2})+(R^{2}-x_{2}^{2})+(R^{2}-x_{3}^{2}))=\pi(3R^{2}-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}))=\pi(3R^{2}-d^{2}).
Что и требовалось.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 80, с. 12