9652. Существует ли такая треугольная пирамида, что основания всех её высот лежат вне граней, на которые они опущены?
Ответ. Да, существует.
Решение. Рассмотрим правильную четырёхугольную призму ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, в которой AB=BC=2a
, AA_{1}=a
. Тогда основания всех высот пирамиды ACB_{1}D_{1}
, лежат вне граней, на которые они опущены.
Действительно, пусть O_{1}
— центр основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Угол AO_{1}C
тупой, так как a=CC_{1}\lt C_{1}O_{1}=a\sqrt{2}
, а значит, \angle CO_{1}C\lt45^{\circ}
, и
\angle AO_{1}C=180^{\circ}-2\angle COC_{1}\gt90^{\circ}.
Основание высоты пирамиды ACB_{1}D_{1}
, проведённой из вершины A
, лежит на прямой CO_{1}
, а так как угол AO_{1}C
тупой, то основание рассматриваемой высоты лежит на продолжении отрезка CO_{1}
за точку O_{1}
, а значит, вне грани B_{1}CD_{1}
пирамиды. Аналогично для оснований остальных трёх высот.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 179, с. 27