9653. Дан куб с ребром a
. Концы отрезка, пересекающего ребро C_{1}D_{1}
, лежат на прямых AA_{1}
и BC
. Какую наименьшую длину может иметь этот отрезок?
Ответ. 3a
.
Решение. Пусть точки M
и N
лежат на прямых AA_{1}
и BC
соответственно, и отрезок MN
пересекает ребро C_{1}D_{1}
в точке L
. Тогда точки M
и N
лежат на лучах AA_{1}
и BC
.
Обозначим AM=x
и BN=x
. Тогда x\gt a
и y\gt b
. Пусть P
и Q
— ортогональные проекции точки L
на прямые A_{1}B_{1}
и CD
соответственно. Треугольник PBB_{1}
подобен треугольнику PA_{1}M
, а треугольник QCN
— треугольнику DQA
, поэтому
\frac{C_{1}L}{LD_{1}}=\frac{BP}{PA_{1}}=\frac{BB_{1}}{MA_{1}}=\frac{a}{x-a},
\frac{C_{1}L}{LD_{1}}=\frac{CQ}{QD}=\frac{CN}{DA}=\frac{y-a}{a}.
Тогда
\frac{a}{x-a}=\frac{y-a}{a}~\Rightarrow~a^{2}=(x-a)(y-a)~\Rightarrow~xy=a(x+y)~\Rightarrow
\Rightarrow~(xy)^{2}=a^{2}(x+y)^{2}\geqslant a^{2}\cdot4xy~\Rightarrow~xy\geqslant4a^{2},
так как
\frac{x+y}{2}\geqslant\sqrt{xy}~\Rightarrow~(x+y)^{2}\geqslant4xy.
Значит,
MN^{2}=AM^{2}+AN^{2}=x^{2}+(a^{2}+y^{2})=x^{2}+y^{2}+a^{2}=(x+y)^{2}-2xy+a^{2}=
=\left(\frac{xy}{a}\right)^{2}-2xy+a^{2}=\frac{(xy)^{2}-2xya^{2}+a^{4}}{a^{2}}=\frac{(xy-a^{2})^{2}}{a^{2}}\geqslant\frac{(4a^{2}-a^{2})^{2}}{a^{2}}=9a^{2}.
Следовательно, MN\geqslant3a
, причём равенство достигается, когда QM=BN=2a
.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 11.4, с. 207
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — , № 15.27, с. 242