9654. Пусть S_{1}
и S_{2}
— площади граней тетраэдра прилегающих к ребру a
; \alpha
— двугранный угол при этом ребре; b
— ребро, противоположное a
; \varphi
— угол между рёбрами a
и b
. Докажите, что
S_{1}^{2}+S_{2}^{2}-2S_{1}S_{2}\cos\alpha=\left(\frac{ab\sin\varphi}{2}\right)^{2}.
Указание. Рассмотрите ортогональную проекцию тетраэдра на плоскость, перпендикулярную ребру a
.
Решение. Пусть ABCD
— данный тетраэдр, S_{\triangle ACB}=S_{1}
, S_{\triangle ADB}=S_{2}
. Рассмотрим ортогональную проекцию тетраэдра на плоскость, перпендикулярную ребру AB=a
. Получим треугольник A'C'D'
, в котором стороны A'C'
и A'D'
равны высотам треугольников ACB
и ADB
, а угол между ними равен \alpha
. Поскольку угол между прямыми AB
и CD
равен \varphi
, угол между прямой CD
и плоскостью проекций равен 90^{\circ}-\varphi
, значит,
C'D'=CD\cos(90^{\circ}-\varphi)=b\sin\varphi.
По теореме косинусов
A'C'^{2}+A'D'^{2}-2A'C'\cdot A'D'\cos\alpha=C'D'^{2},
или
\left(\frac{2S_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{2S_{2}}{a}\right)^{2}-2\cdot\frac{2S_{1}}{a}\cdot\frac{2S_{2}}{a}\cos\alpha=b^{2}\sin^{2}\varphi.
Следовательно,
S_{1}^{2}+S_{2}^{2}-2S_{1}S_{2}\cos\alpha=\frac{a^{2}b^{2}\sin^{2}\varphi}{4}=\left(\frac{ab\sin\varphi}{2}\right)^{2}.