9655. В треугольной пирамиде SABC
с вершиной S
боковые рёбра равны, а сумма двугранных углов при рёбрах SA
и SC
равна 180^{\circ}
. Выразите длину бокового ребра через рёбра BC=a
и AB=c
.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+c^{2}}
.
Указание. На продолжении ребра SA
за точку S
отложите отрезок SA_{1}=SA
, и рассмотрите треугольную пирамиду SA_{1}BC
.
Решение. На продолжении ребра SA
за точку S
отложим отрезок SA_{1}=SA
. Рассмотрим треугольную пирамиду SA_{1}BC
с вершиной S
. Её боковые ребра SA_{1}
, SB
и SC
равны. Равны также двугранные углы этой пирамиды при боковых рёбрах SA_{1}
и SC
. При этом SB=SA_{1}=SA
, т. е. медиана SB
треугольника ABA_{1}
равна половине стороны AA_{1}
, значит, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B
.
Пусть BH
— высота пирамиды SA_{1}BC
, а BP
и BQ
— высоты треугольников CBS
и A_{1}BS
. Тогда BPH
и BQH
— линейные углы равных двугранных углов. Прямоугольные треугольники BHP
и BHQ
равны по катету и противолежащему острому углу, поэтому точка H
лежит на биссектрисе равнобедренного треугольника A_{1}SC
, проведённой из вершины S
. Значит, HC=HA_{1}
, поэтому прямоугольные треугольники BHC
и BHA_{1}
равны по двум катетам. Следовательно, BA_{1}=BC=a
. Тогда по теореме Пифагора
2SA=AA_{1}=\sqrt{BA_{1}^{2}+AB^{2}}=\sqrt{a^{2}+c^{2}}.
Таким образом, SA=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+c^{2}}
.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.12, с. 101