9659. Все плоские углы при одной вершине тетраэдра прямые. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер, равны.
Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, рёбра AB
, AD
и AA_{1}
которого являются рёбрами данного тетраэдра. Отрезок, соединяющий середины рёбер AB
и A_{1}D
, есть средняя линия треугольника ABD_{1}
, параллельная BD_{1}
. Значит, этот отрезок равен половине диагонали BD_{1}
рассматриваемого прямоугольного параллелепипеда. Аналогично для двух остальных отрезков.
Примечание. Указанные в условии отрезки (бимедианы тетраэдра) равны радиусу описанной сферы тетраэдра.