9667. Два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны и равны a
и b
; расстояние между ними равно c
. В тетраэдр вписан куб, четыре ребра которого перпендикулярны эти двум рёбрам тетраэдра, а на каждой грани тетраэдра лежат ровно две вершины куба. Найдите ребро куба.
Ответ. \frac{abc}{ab+ac+bc}
.
Решение. Пусть общий перпендикуляр скрещивающихся прямых, содержащих ребра, равные a
и b
тетраэдра, разбивается двумя параллельными гранями куба на отрезки, равные y
, x
и z
, причём отрезок равный y
прилежит к ребру тетраэдра, равному a
, отрезок x
равен ребру куба, а y+x+z=c
.
Плоскости этих параллельных граней куба пересекают тетраэдр по прямоугольникам, одна сторона которых равна x
. Из соответствующих подобных треугольников получаем, что
\frac{x}{a}=\frac{z}{z+x+y}=\frac{z}{c},~\frac{x}{b}=\frac{y}{y+x+z}=\frac{y}{c},
откуда z=\frac{cx}{a}
и y=\frac{cx}{b}
. Тогда
c=x+y+z=x+\frac{cx}{b}+\frac{cx}{a}=x\left(1+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}\right)=\frac{x(ab+ac+bc)}{abc}.
Следовательно, x=\frac{abc}{ab+ac+bc}
.