9668. В тетраэдре ABCD
ребро CD
перпендикулярно плоскости ABC
, точка M
— середина ребра BD
, точка N
— середина ребра AB
, K
— такая точка на ребре CD
, что CK=\frac{1}{3}CD
. Докажите, что расстояние между прямыми BK
и CN
равно расстоянию между прямыми AM
и CN
.
Решение. Рассмотрим ортогональную проекцию тетраэдра на плоскость, проходящую через точку N
перпендикулярно CN
. Пусть D_{1}
, A_{1}
, B_{1}
, M_{1}
и K_{1}
— ортогональные проекции точек соответственно D
, A
, B
, M
и K
на эту плоскость. Тогда (см. задачу 8406) расстояние между скрещивающимися прямыми BK
и CN
равно расстоянию от точки N
до прямой B_{1}K_{1}
, а расстояние между скрещивающимися прямыми AM
и CN
— расстоянию от точки N
до прямой A_{1}M_{1}
.
Из свойства параллельных проекций следует, что N
— середина отрезка A_{1}B_{1}
, M_{1}
— середина B_{1}D_{1}
, а D_{1}K_{1}:K_{1}N=2:1
. В треугольнике A_{1}D_{1}B_{1}
высота D_{1}N
является медианой, значит, A_{1}D_{1}B_{1}
— равнобедренный треугольник, D_{1}A=D_{1}B
. Точка K_{1}
лежит на его медиане D_{1}K
и делит её в отношении 2:1
, считая от вершины, значит, K_{1}
— точка пересечения медиан этого треугольника. Следовательно, точка K_{1}
лежит на медиане A_{1}M_{1}
.
В то же время, треугольник A_{1}K_{1}B_{1}
также равнобедренный, поэтому точка N
равноудалена от прямых A_{1}K_{1}
и B_{1}K_{1}
(если P
и Q
— основания перпендикуляров, опущенных из точки K_{1}
на эти прямые, то прямоугольные треугольники K_{1}PN
и K_{1}QN
равны по гипотенузе и острому углу). Отсюда следует утверждение задачи.