9670. Осевое сечение конуса является правильным треугольником. Через ось конуса проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Рассмотрим два шара, каждый из которых касается этих двух плоскостей, плоскости основания конуса и его боковой поверхности, только один касается её изнутри, а второй — снаружи. Найдите отношение радиусов этих шаров.
Ответ. \frac{9+4\sqrt{6}}{5}
.
Решение. Пусть указанные плоскости пересекают основание конуса с вершиной S
по двум перпендикулярным диаметрам AB
и CD
, O
— центр основания конуса, r
— радиус основания, O_{1}
— центр шара радиуса x
, вписанного в трёхгранный угол OSAD
с вершиной O
и касающегося боковой поверхности конуса изнутри, O_{2}
— центр шара радиуса y
, вписанного в двугранный угол OSAD
с вершиной O
и боковой поверхности конуса снаружи (рис. 1).
Рассмотрим ортогональную проекцию конуса и шаров на плоскость основания конуса (рис. 2). Пусть O_{1}'
и O_{2}'
— ортогональные проекции точек O_{1}
и O_{2}
(точки касания шаров с плоскостью основания конуса). Ортогональная проекция первого шара — окружность радиуса x
с центром O_{1}'
, вписанная в прямой угол AOD
, поэтому OO_{1}'=x\sqrt{2}
. Аналогично OO_{2}'=y\sqrt{2}
.
Рассмотрим ортогональную проекцию конуса и шаров на плоскость осевого сечения конуса, проходящего через диаметр PQ
, где OP
и OQ
— биссектрисы вертикальных углов AOD
и BOC
(рис. 3). Из прямоугольных треугольников O_{1}O_{1}'P
и O_{2}O_{2}'Q
находим, что
O_{1}'P=x\sqrt{3},~O_{2}'Q=\frac{y}{\sqrt{3}},
а так как
r=OP=OO_{1}'+O_{1}'P=x\sqrt{2}+x\sqrt{3}~\mbox{и}~r=OQ=OO_{2}'-O_{2}'Q=y\sqrt{2}-\frac{y}{\sqrt{3}},
то
x=\frac{r}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}~\mbox{и}~y=\frac{r}{\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}}.
Следовательно,
\frac{y}{x}=\frac{\frac{r}{\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}}}{\frac{r}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{6}+3}{\sqrt{6}-1}=\frac{9+4\sqrt{6}}{5}.