9674. Из вершины D
на плоскость основания ABC
пирамиды ABCD
опущена высота DH
. Найдите объём этой пирамиды, если известно, что площади треугольников HBC
, HAC
, HAB
равны соответственно \frac{2}{9}
, \frac{1}{3}
, \frac{4}{9}
, и что все три плоских угла при вершине D
прямые.
Ответ. \frac{2}{9}\sqrt[{4}]{{\frac{2}{3}}}
.
Решение. Обозначим DA=a
, DB=b
, DC=c
. Тогда V_{ABCD}=\frac{1}{6}abc
. Известно, что если плоские углы при вершине тетраэдра прямые (прямоугольный тетраэдр), то площадь боковой грани равна среднему геометрическому площади основания и площади проекции этой грани на плоскость основания (см. задачу 7239), т. е.
\frac{ab}{2}=\sqrt{\frac{4}{9}\cdot1}=\frac{2}{3},~\frac{bc}{2}=\sqrt{\frac{2}{9}\cdot1}=\frac{\sqrt{2}}{3},~\frac{ac}{2}=\sqrt{\frac{1}{3}\cdot1}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Перемножив эти равенства, получим, что
\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{8}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{9}\sqrt{\frac{2}{3}},
откуда abc=\frac{4}{3}\sqrt[{4}]{{\frac{2}{3}}}
. Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{6}abc=\frac{2}{9}\sqrt[{4}]{{\frac{2}{3}}}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2017, № 7