9675. Из вершины S
на плоскость основания KLM
пирамиды KLMS
опущена высота SH
. Найдите объём этой пирамиды, если известно, что площади треугольников HLM
, HKM
, HKL
равны соответственно \frac{2}{10}
, \frac{3}{10}
, \frac{1}{2}
, и что все три плоских угла при вершине S
прямые.
Ответ. \frac{\sqrt[{4}]{{75}}}{15}
.
Решение. Обозначим SK=a
, SL=b
, SM=c
. Тогда V_{KLMS}=\frac{1}{6}abc
. Известно, что если плоские углы при вершине тетраэдра прямые (прямоугольный тетраэдр), то площадь боковой грани равна среднему геометрическому площади основания и площади проекции этой грани на плоскость основания (см. задачу 7239), т. е.
\frac{ab}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot1}=\frac{1}{\sqrt{2}},~\frac{bc}{2}=\sqrt{\frac{2}{10}\cdot1}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}},~\frac{ac}{2}=\sqrt{\frac{3}{10}\cdot1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}.
Перемножив эти равенства, получим, что
\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{8}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{3}}{10},
откуда
abc=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt[{4}]{{3}}}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt[{4}]{{3}}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt[{4}]{{75}}}{5}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{6}abc=\frac{1}{6}\cdot\frac{2\sqrt[{4}]{{75}}}{5}=\frac{\sqrt[{4}]{{75}}}{15}.