9678. В пирамиде FABC
выполнены равенства AB=BC
, FB=FK
, где K
— середина отрезка AC
, а тангенс угла между плоскостями FAB
и ABC
относится к тангенсу угла между плоскостями FBC
и ABC
как 1:3
. Некоторая плоскость, параллельная AB
, делит ребро FC
в отношении 1:4
, считая от вершины F
, и проходит через основание O
высоты FO
пирамиды FABC
. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые эта плоскость делит пирамиду FABC
.
Ответ. 5:11
или 1:19
.
Решение. Из равенства наклонных FB
и FK
следует равенство их ортогональных проекций OB
и OK
на плоскость ABC
. Значит, точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BK
(медиане и высоте равнобедренного треугольника ABC
), т. е. на прямой MN
, где M
и N
— середины боковых сторон соответственно AB
и BC
треугольника ABC
.
Пусть M'
и N'
ортогональные проекции точки O
на прямые AB
и BC
соответственно. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что OM'F
и ON'F
— линейные углы двугранных углов пирамиды при рёбрах AB
и BC
. Поскольку \angle BMN=\angle BNM
, прямоугольные треугольники OM'M
и ON'N
подобны, поэтому
OM:ON=OM':ON'=FO\ctg\angle OM'F:FO\ctg\angle ON'F=
=\ctg\angle OM'F:\ctg\angle ON'F=3:1.
Пусть P
, Q
и R
— точки пересечения секущей плоскости с рёбрами AC
, BC
и FC
соответственно. Тогда PQ\parallel AB
, поэтому
BQ:QN=MO:ON=3:1.
Положим ON=t
, OM=3t
.
1. Если точка O
лежит на отрезке MN
(рис. 1), то
AP=OM=3t,~AC=2MN=2\cdot4t=8t,~CP=8t-3t=5t.
Значит,
CQ:CB=CP:CA=5:8,
V_{CPQR}=\frac{CP}{CA}\cdot\frac{CQ}{CB}\cdot\frac{CR}{CF}\cdot V_{FABC}=\frac{5}{8}\cdot\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{5}\cdot V_{FABC}=\frac{5}{16}.
Следовательно,
\frac{V_{CPQR}}{V_{FABC}-V_{CPQR}}=\frac{5}{11}.
2. Если точка O
лежит вне отрезка MN
(рис. 2), то
CA=2MN=2\cdot2t=4t,~AP=OM=3t,~CP=4t-3t=t.
Значит,
CQ:CB=CP:CA=1:4,
V_{CPQR}=\frac{CP}{CA}\cdot\frac{CQ}{CB}\cdot\frac{CR}{CF}\cdot V_{FABC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{5}\cdot V_{FABC}=\frac{1}{20}.
Следовательно,
\frac{V_{CPQR}}{V_{FABC}-V_{CPQR}}=\frac{1}{19}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2013, вариант 1, № 8
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 30