9680. В прямой круговой конус, радиус основания которого равен 2, вписан шар. Найдите объём этого шара, если он в три раза меньше объёма конуса.
Ответ. \frac{16}{9}\pi\sqrt{9\pm5\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть O
— центр шара радиуса r
, вписанного в конус с вершиной S
, Q
— центр основания конуса, R=2
— радиус основания конуса, h
— высота конуса.
Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник ASB
с вершиной S
и высотой SQ=h
. В него вписан круг с центром O
и радиусом r
. Пусть P
— точка касания этого круга с боковой стороной SA
. Из подобия прямоугольных треугольников AQS
и OPS
получаем, что
\frac{QA}{SA}=\frac{OP}{SO},~\mbox{или}~\frac{2}{\sqrt{2^{2}+h^{2}}}=\frac{r}{h-r},
откуда h=\frac{8r}{4-r^{2}}
.
По условию задачи
\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{3}\pi h,
откуда получаем, что h=3r^{3}
. Из равенства \frac{8r}{4-r^{2}}=3r^{3}
следует, что 3r^{4}-12r^{2}+8=0
. Условию задачи удовлетворяют оба положительных корня этого уравнения, т. е.
r=\sqrt{\frac{6\pm2\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}\pm1)}{3}}.
Пусть V
— искомый объём шара. Тогда
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi\left(\sqrt{\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}\pm1)}{3}}\right)^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}(\sqrt{3}\pm1)^{3}}=
=\frac{8\pi\sqrt{3}}{9}\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}(3\sqrt{3}\pm9+3\sqrt{3}\pm1)}=\frac{8\pi}{9}\sqrt{2\sqrt{3}(6\sqrt{3}\pm10)}=
=\frac{16\pi}{9}\sqrt{\sqrt{3}(3\sqrt{3}\pm5)}=\frac{16\pi}{9}\sqrt{9\pm5\sqrt{3}}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2017, вариант 1, № 6
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 38