9686. В правильную треугольную призму
ABCA_{1}B_{1}C_{1}
вписан шара радиуса
\sqrt{2}
. Найдите площадь боковой поверхности вписанного в шар прямого кругового цилиндра, основание которого лежит в плоскости, проходящей через точку
A
и середины рёбер
BB_{1}
и
CC_{1}
.
Ответ.
\frac{12\pi}{5}
.
Решение. Пусть
M
и
N
— середины рёбер
BB_{1}
и
CC_{1}
,
R=\sqrt{2}
— радиус шара,
r
— радиус основания цилиндра.
Заметим, что высота призмы равна диаметру шара, т. е.
2R
, шар касается плоскостей оснований призмы в центрах
P
и
P_{1}
равносторонних треугольников
ABC
и
A_{1}B_{1}C_{1}
, а плоскостей боковых граней — в точках пересечения их диагоналей (рис. 1).
Пусть
K
и
K_{1}
— середины
BC
и
B_{1}C_{1}
соответственно. Ортогональная проекция шара на плоскость
ABC
есть круг радиуса
R
, вписанный в треугольник
ABC
. Поэтому
AP=A_{1}P_{1}=2R,~PK=P_{1}K_{1}=R,~AK=A_{1}K_{1}=3R.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью
AKK_{1}A_{1}
(рис. 2). Получим прямоугольник
AKK_{1}A_{1}
со сторонами
2R
,
3R
, круг радиуса
R
, касающийся сторон
AK
и
A_{1}K_{1}
в точках
P
и
P_{1}
, а стороны
KK_{1}
— в её середине
L
, причём центр круга совпадает с центром
O
шара. Пусть
\angle LAK=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{KL}{AK}=\frac{R}{3R}=\frac{1}{3},~\cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}.

Опустим перпендикуляр
OQ
из центра круга на прямую
AL
. Из прямоугольного треугольника
OQL
находим, что
r=QL=OL\cos\angle OLQ=R\cos\alpha=\frac{3R}{\sqrt{10}}.

Пусть
AQ
вторично пересекает окружность, ограничивающую круг, в точке
E
. Продолжим
EO
до пересечения с этой окружностью в точке
F
. Тогда
EL
— диаметр основания цилиндра, вписанного в данный шар,
EL=2QL=2r
, а
h=LF
— высота цилиндра. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
EFL
находим, что
h=LF=\sqrt{EF^{2}-EL^{2}}=\sqrt{4R^{2}-\left(\frac{6R}{\sqrt{10}}\right)^{2}}=\frac{2R}{\sqrt{10}}.

Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна
2\pi rh=\pi\cdot\frac{6R}{\sqrt{10}}\cdot\frac{2R}{\sqrt{10}}=\frac{12\pi R^{2}}{10}=\frac{6\pi\cdot2}{5}=\frac{12}{5}\pi.

Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2014, вариант 1, № 7
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 32